Ley de Hooke

En el siglo XVII, al estudiar los resortes y la elasticidad, el físico Robert Hooke observó que para muchos materiales la curva de esfuerzo vs. deformación tiene una región lineal. Dentro de ciertos límites, la fuerza requerida para estirar un objeto elástico, como un resorte de metal, es directamente proporcional a la extensión del resorte. A esto se le conoce como la ley de Hooke.

La ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke establece que el alargamiento unitario que experimenta un cuerpo elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo ():

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {F}{A\ E}}}$

Siendo (${\displaystyle \Delta L}$) el alargamiento, (${\displaystyle L}$) la longitud original, (${\displaystyle E}$): módulo de Young, (${\displaystyle A}$) la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a un cuerpo elástico hasta un límite denominado límite elástico.

Ley de Hooke para los resortes

La forma de representar la Ley de Hooke es mediante la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza (${\displaystyle F}$) ejercida por el resorte con la elongación (${\displaystyle \delta }$) provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del mismo:

${\displaystyle F=-k\ \delta }$

donde (${\displaystyle k}$) se llama constante elástica del resorte y (${\displaystyle \delta }$) es su elongación o variación que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica (${\displaystyle U_{k}}$) asociada al estiramiento del resorte viene dada por:

${\displaystyle U_{k}={\frac {1}{2}}\ k\ {\delta }^{2}}$

La (${\displaystyle k}$) depende de la longitud del muelle y de su constitución. Se define una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud y establece la ley diferencial de un muelle. Multiplicando (${\displaystyle k}$) por la longitud total, y llamando al producto (${\displaystyle k_{i}}$) o (${\displaystyle k}$) intrínseca, se tiene:

${\displaystyle k={\frac {k_{i}}{L}}}$

(${\displaystyle F(x)}$) es la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos el cual tomaremos como origen de coordenadas, (${\displaystyle k_{\Delta x}}$) a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud (${\displaystyle \Delta x}$) a la misma distancia y (${\displaystyle \delta _{\Delta x}}$) al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza (${\displaystyle F(x)}$). Por la ley del muelle completo:

${\displaystyle F(x)=-k_{\Delta x}\ \delta _{\Delta x}=-k_{i}{\frac {\delta _{\Delta x}}{\Delta x}}}$

Tomando el límite:

${\displaystyle F(x)=-k_{i}{\frac {{\delta }_{dx}}{dx}}}$

que por el principio de superposición resulta:

${\displaystyle F(x)=-k_{i}{\frac {d{\delta }}{dx}}=-(A\ E){\frac {d\delta }{dx}}}$

Teniendo en cuenta esta Ley de Hooke del muelle, la masa del objeto que oscila, y su aceleración, se obtiene como solución el movimiento del oscilador armónico simple (Véase también: Muelle elástico / Resorte). La frecuencia angular de la oscilación se calcula como:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

siendo (${\displaystyle m}$) la masa del oscilador.

Fuentes:

• Khan Academy (2021). Ley de Hooke, obtenido de: https://es.khanacademy.org/science/physics/work-and-energy/hookes-law/a/what-is-hookes-law