Si un cuerpo elástico es sometido a esfuerzos, es afectado por cambios de forma y dimensión, denominado deformación. Si aplicamos esfuerzos se generan deformaciones. Si el esfuerzo es perpendicular, es un esfuerzo normal.
Cuando la fuerza es tangencial, el esfuerzo es cortante. Se denota con subíndices que describen a los esfuerzos 𝜎. Cuando los subíndices son iguales el esfuerzo es normal 𝜎𝑥𝑥, cuando son
diferentes el esfuerzo es cortante 𝜎𝑦𝑧.
Esto se ejemplifica con un cubo sometido a esfuerzos en varias direcciones. Donde en cada cara es afectada por cierto tipo de esfuerzo, para que esté en equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan en X deben ser cero (0).
Una segunda condición, la
suma de momentos sea cero en cada dirección de ΣMx=0, ΣMy=ΣMz=0. El momento
está dado por el producto de una fuerza perpendicular a un punto dado. Si sumamos los momentos en la
dirección del eje X tendremos:
En el cubo actúa una
fuerza por volumen unitario 𝑓𝑣 = 𝑓𝑥̂ + 𝑓𝑦̂ + 𝑓𝑧̂ . Si iguala la fuerza resultante con la segunda ley de Newton "la fuerza no equilibrada es igual a la masa por la aceleración", se obtiene la ecuación de movimiento en el eje x,
donde ρ
es la densidad del medio:
Estas tres
ecuaciones son la ecuación
del movimiento.
La ecuación del movimiento se relaciona con las constantes
de Lamé donde los esfuerzos en la dirección x se pueden escribir en términos de estas constantes.
Sustituyendo los esfuerzos en la dirección
de x, y escribiendo la ecuación del movimiento en términos de las constantes de Lamé λL
y µL tendremos:
Para los otros ejes:
Los parámetros de Lamé son dos constantes elásticas que
caracterizan el
comportamiento elástico de un sólido. Landa λL es el primer
parámetro de Lamé y µL
es el segundo parámetro de Lamé.
Fuentes:
- Pablo Salinas Cid (2014). Métodos Sismológicos de Dispersión de Ondas Superficiales aplicados a la Exploración Somera. Tesis de Lic. en Ing. Geofísica. IPN, ESIA Ticomán. Ciudad de México, México. Obtenido de: https://tesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/16569/1/M%C3%A9todos%20sismol%C3%B3gicos%20de%20dispersi%C3%B3n%20de%20ondas%20superficiales%20aplicados%20a%20la%20exploraci%C3%B3n%20somera.pdf
