Ecuación de Onda Sísmica

Las ecuaciones de onda nos permiten conceptualizar la propagación de las ondas. El ejemplo más común es el de una cuerda.

Primero hay que demostrar que las ondas ocurren en una cuerda. Este análisis considera la propagación de ondas sin importarle cómo ocurrió ese movimiento (cinemática). 

El Físico Loco (2013). Propagación de Onda en una cuerda. Obtenido de: https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUQVnMXYmC141lC2znNEsDa6hZMQsu_oezmVbEscc69Yb1fZ1vKHIN-Zr-HNkIZG_NO3wGBCiSKUT06XpkzCkRkzdMwGSWfsBQI1PsXfvqbL-Nkwc0gxLEWjIVpBBKJeN8OI0yGS4tsh2e/s1600/Ondaviajandosobrecuerda2.GIF

Partimos de una región homogénea con propiedades uniformes, dentro de un material elástico. Hay que suponer que la región no contiene ninguna fuente de ondas sísmicas. Las ondas se generan y propagan a partir de un impulso, la relación entre las tensiones y los desplazamientos está dada por la ecuación de movimiento, por lo que F = ma se convierte en:

...(1)

Tenemos que escribir la ecuación 1 en coordenadas cartesianas (x, y, z), comenzando

con la componente x:

...(2)

Ahora hay que expresar esto en términos de desplazamientos:

...(3)

Las deformaciones tienen que estar en términos de desplazamiento:

...(4)

Luego deriva parcialmente las componentes de Stress:

...(5)

En un material homogéneo, las constantes elásticas no varían con la posición, ahora sustituye las derivadas en la ecuación de movimiento:

...(6)

Ahora con el Laplaciano:

...(7)

Y con el producto:

...(8)

Para x de la ec. (1). Se obtienen las ecuaciones para las componentes y y z. Las tres ecuaciones se pueden combinar, con el vector laplaciano de desplazamiento:

...(9)

Ahora se junta en una sola ecuación todo:

...(10)

La ecuación 10 es reescrita usando la identidad vectorial:

...(11)

Obtenemos:

...(12)

Expresa el desplazamiento en términos de  φ y ϒ, que son potenciales:

...(13)

La ec. (13) es la suma del gradiente de un potencial escalar, φ (x, t), el vector potencial es ϒ (x, t), ambas funciones del espacio y el tiempo. Las identidades vectoriales son:

...(14)

...(15)

...(16)

...(17)

...(18)

...(19)

La ecuación anterior describe a la onda P. El potencial vectorial satisface:

...(20)

...(21)

...(22)

También se le llama ecuación de onda por forma diferencial. Describe la propagación de una cantidad escalar en un espacio dimensión. El potencial escalar satisface una onda escalar similar ecuación, con la diferencia de que la variable espacial x está en tres dimensiones. El potencial vectorial, una cantidad vectorial, satisface la ecuación de onda vectorial análoga en tres dimensiones.