Análisis de Señales (Series de Fourier)

El Teorema de Fourier afirma que una función periódica que satisface las condiciones de Dirichlet, puede expresarse como la suma de un número de funciones seno y coseno de diferentes amplitudes, fases y periodos, dichas condiciones son las siguientes:

1. Que tenga un número finito de discontinuidades en el periodo (T) en caso de ser discontinua.
2. El valor medio en el periodo (T) debe ser finito.
3. Que tenga un número finito de máximos positivos.

Wikipedia (2021). Aprox. n=4 de una función periódica escalonada.

Series de Fourier

La Serie de Fourier es una herramienta matemática (Desarrollada por el francés Jean-Baptiste Joseph Fourier a inicios del siglo XIX) y se basa en una serie infinita que relaciona una función periódica y una función continua a trozos.  Son ampliamente utilizadas en las Ingenierías, pues ayudan a estudiar a las funciones periódicas y su descomposición espectral en la suma infinita de funciones senos que vuelven a la señal menos compleja.

Son una de las bases de la Geofísica, pues nos ayuda en el procesado de datos sísmicos a transformar de dominios a la señal, también nos sirven para aplicar diversos filtros y correcciones, es obligatorio saber Teoría de Señales por Análisis de Fourier si uno quiere ser un buen Ing. Geofísico.

Expresión Matemática de las Series de Fourier de forma trigonométrica

Si ${\displaystyle f(t)\,}$ es una función de , está acotada en los intervalos ${\displaystyle [t_{0}-T/2,t_{0}+T/2]}$se puede obtener en serie de Fourier de ${\displaystyle f\,}$ ese intervalo. Fuera del intervalo la serie es periódica, con período ${\displaystyle T\,}$.

Si ${\displaystyle f(t)\,}$ es periódica, la aproximación por series de Fourier será válida en valores de ${\displaystyle t\,}$.

Entonces, lo que hace la Teoría de Fourier es descomponer una función f(t), en suma de funciones simples, de forma de senos o cosenos, mediante una serie armónica infinita. Que se escribe matemáticamente como:

• ω0 (f=ωo/2π ) es la frecuencia de la función periódica.
• a0, an, bn y θn son los coeficientes de la Serie de Fourier.

Ejemplo de la Aplicación de la Serie de Fourier en Matlab

J.R (2021). Aprox. de Fourier para n=7 en Matlab. Basado en Angelo Franco.

J.R (2021). Código de aprox. de Fourier para n=7 en Matlab. Basado en Angelo Franco.

Fuentes: 

• K. R. Rao (2010). Fast Fourier Transform - Algorithms and Applications. Springer.
• Wikipedia (2021). Serie de Fourier. Obtenido de: https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier
• Angel Franco G. (2016). Series de Fourier. Obtenido de: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/oscilaciones/fourier/fourier.html