En el análisis de señales, la Transformada Compleja de Fourier nos ayuda a determinar si f(x) es una función compleja de una variable real donde ambos componentes (parte real e imaginaria) son funciones con valores reales que se pueden representar mediante una serie de Fourier.
donde a
Ángel Franco García (2016). Pulso rectangular para la Serie Compleja de Fourier. Obtenido de: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/ondas/fourier/fourier.html
Ángel Franco García (2016). Serie Compleja de Fourier. Obtenido de: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/ondas/fourier/fourier.html
Se determinan a partir de las identidades de Euler.
donde i es la raíz de -1
La Serie Compleja de Fourier se construye sustituyendo las primeras dos ecuaciones anteriores [sen(nwt)] y [cos(nwt)] con:
donde T es el periodo, b0, an y bn son los coeficientes de Fourier, y t el tiempo.
y se obtiene:
Ahora, agrupa y reduce, dando:
De la ecuación anterior, de determina:
sustituyendo en la última ecuación f(t):
donde de se determinan las igualdades:
sustituyendo en la última ecuación f(t):
a partir de an y bn, se establece cn:
Usando la identidad de Euler, queda:
sustituyendo an y bn en la igualdad cn, queda:
reduciendo la ecuación a partir de sustituirla con:
que se puede expresar como:
a partir de la primera ecuación cn y de la suma de la ecuación f(t) anterior, se sustituye n=0, quedando:
reduciendo:
la última ecuación es la Transformada Compleja de Fourier,
Fuentes:
- Ohmar Z. Martínez (2007). Estimación de propagación y atenuación de ondas en edificios a partir de trazas sísmicas deconvolucionadas. Tesis de Maestría. Obtenido de: https://tesis.ipn.mx/bitstream/handle/123456789/169/Tesis_Ohmar_Zeferino_Mtz_Cruz.pdf?sequence=1&isAllowed=y
- K. R. Rao (2010). Fast Fourier Transform - Algorithms and Applications. Springer.
- Wikipedia en Inglés (2021). Fourier series. Obtenido de: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
